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Dopo aver passato centinaia di volte a calcolare e ricalcolare la frequenza di taglio dell'ennesimo filtro RC, mi sono ricordato di una tecnica illustrata in uno dei miei libri di elettronica: la tecnica della normalizzazione. E' possibile calcolare la frequenza di taglio di un filtro di riferimento, per esempio in cui R e C sono unitari e ricavare la frequenza di taglio di tutti gli altri filtri per rapporto: la frequenza di taglio di un filtro RC vale chiaramente

raddoppiando R la frequenza di taglio dimezza; la stessa regola vale per C.

Con questa tecnica e' possibile calcolare la frequenza di taglio di qualunque filtro RC nota una frequenza particolare di riferimento. La tecnica sembra molto potente, ma forse si puo' fare di piu': vi ricordate l'ormai estinto regolo calcolatore?

Uno strumento eccezionale (per chi lo sa usare), unendo questa idea alla pulizia dei grafici prodotti da gnuplot ho provato a realizzare i miei regoli personali per il calcolo veloce di filtri RC. Preso bene dal risultato mi sono lanciato in una serie di tavole per il dimensionamento di elementi circuitali, ad oggi la raccolta contiene calcolo di filtri RC, LC, induttanze, filtri IIR, etc.

Vediamole una ad una.

Questa tavola, in realta' abbastanza banale e poco divertente, mostra il variare dell'impedenza di un induttore al variare della frequenza. L'uso normale consiste nell'individuare sull'asse orizzontale il valore di induttanza, si prosegue fino ad incrociare la frequenza di lavoro e quindi si individua l'impedenza corrispondente.

L'uso inverso parte dall'impdenza desiderata, passando per la frequenza di lavoro si individua il valore di induttanza che e' necessario inserire nel circuito.

Per quanto questa tavola non provochi alcuna forma di interesse, bisogna spezzare un paio di lance in suo favore: per prima cosa utilizzata insieme alla carta di Smith puo' diventare uno strumento potente: la tavola permette di calcolare l'impedenza complessa non normalizzata di un induttore, per passare alla carta di Smith basta normalizzare il valore individuato sulla tavola all'impedenza di linea. Secondo: questa carta puo' essere utilizzata per calcolare l'ammettenza complessa di un condensatore, basta sostituire le unita' di misura da Henry a Farad ed il gioco e' fatto; anche in questo caso diventa uno strumento utile se usato in combinazione alla carta di Smith.

Esiste una seconda versione di questa tavola: la versione inversa che riporta sull'asse orizzontale le frequenze, questa versione reverted sembra piu' comoda nell'analisi del comportamento delle bobine di modo comune: i costruttori forniscono dei grafici frequenza-impedenza, in questo caso il confronto diretto risulta piu' comodo e sicuro.

Questa tavola, sorella della precedente, mostra il variare dell'impedenza di un condensatore al variare della frequenza. L'uso normale consiste nell'individuare sull'asse orizzontale il valore di capacita', si prosegue fino ad incrociare la frequenza di lavoro e quindi si individua l'impedenza corrispondente.

L'uso inverso parte dall'impdenza desiderata, passando per la frequenza di lavoro si individua il valore di capacita' che e' necessario inserire nel circuito.

Per quanto questa tavola non provochi alcuna forma di interesse, bisogna spezzare un paio di lance in suo favore: per prima cosa utilizzata insieme alla carta di Smith puo' diventare uno strumento potente: la tavola permette di calcolare l'impedenza complessa non normalizzata di un condensatore, per passare alla carta di Smith basta normalizzare il valore individuato sulla tavola all'impedenza di linea. Secondo: questa carta puo' essere utilizzata per calcolare l'ammettenza complessa di un induttore, basta sostituire le unita' di misura da Farad a Henry ed il gioco e' fatto; anche in questo caso diventa uno strumento utile se usato in combinazione alla carta di Smith.

Come nel caso precedente, esiste una seconda versione di questa tavola: la versione inversa che riporta sull'asse orizzontale le frequenze.

Questa e' in realta' la tavola principe, quella con cui tutto il lavoro e' cominciato: stufo di calcolare e ricalcolare il comportamento dei filtri RC mi sono chiesto se non ci fosse un metodo piu' veloce per risparmiare dei calcoli che alla fine delle fiera sono sempre gli stessi.

L'uso normale consiste nell'individuare sull'asse orizzontale il valore di resistenza, si prosegue fino ad incrociare la frequenza di taglio del filtro, quindi si individua il condensatore corrispondente. Un'uso un po' piu' furbo potrebbe partire dal condensatore, visto che e' molto piu' facile costruire o trovare una resistenza con valori particolari piuttosto che una capacita'.

In realta' l'uso vero di questa tavola, che e' il motivo vero per cui questa tavola esiste, consiste nell'individuare la frequenza di taglio desiderata, quindi scorrere avanti e indietro per individuare la coppia RC piu' adatta al circuito stesso. A volte non tutte le R sono ammesse, vuoi per questioni di impedenza di ingresso o di uscita, vuoi per altri effetti; allo stesso modo non tutte le capacita' potrebbero essere ammesse.

Infine questa tavola potrebbe servire per studiare filtri gia' fatti, magari non dimensionati da noi, di cui si e' persa la frequenza di taglio; in questo caso la tavola potrebbe non dare una risposta precisa, ma sicuramente e' in grado di fornire un dato di massima per capire il giro del fumo.

Sulla tavola e' riportato il centro della tavola stessa:

Con R=1k, C=1nF, la frequenza di taglio risulta 159kHz. Questo corrisponde ad un filtro normalizzato di riferimento, il numero magico 159 deriva dall'inverso di 2pi.

Se la tavola non basta

Che cosa succede se la tavola finisce? Come facciamo se i valori che ci interessano, o di cui abbiamo bisogno, non sono nella tavola? Ad esempio: l'asse orizzontale arriva fino a 1Mohm, che cosa facciamo se abbiamo bisogno di 10Mohm?

Semplice: cambiamo scala. Ci sono almeno 2 modi per cambiare le scale degli assi: nel primo spostiamo l'asse orizzontale in avanti, ovvero dove l'asse indica ohm noi leggiamo kohm, dove indica kohm noi leggiamo Mohm; di conseguenza, visto che non dobbiamo alterare il prodotto RC, spostiamo l'asse verticale verso il basso, dove questo indica uF noi leggiamo nF, etc. In questo modo le frequenze indicate al centro della tavola non variano.

C'e' un secondo metodo: alterare le frequenze. Spostiamo l'asse orizzontale in avanti come prima, ma questa volta lasciamo inalterato l'asse verticale; di conseguenza dobbiamo abbassare le frequenze: se sulla tavola e' indicato MHz, dobbiamo leggere kHz; se e' indicato kHz, leggiamo Hz.

Sorella della tavola RC non poteva mancare il dimensionamento di filtri LC. Valgono le stesse considerazioni della tavola RC, quindi non mi dilunghero' oltre. Un solo avvertimento: quando cambiate le scale degli assi ricordatevi che il prodotto LC sta sotto radice, questo rende scomodo variare un solo asse alla volta, vi conviene cambiare entrambi gli assi e poi adattare le frequenze di taglio.

Questa tavola ha una sorella: nella versione 2 ho aggiunto le frequenze di riferimento 125kHz, 134kHz e 13.56MHz; sono le frequenze tipiche degli RFID, questa versione vorrebbe semplificare il calcolo delle risonanze delle antenne.

Questa tavola non richiede grandi parole: semplifica la costruzione delle induttanze. La legenda riporta i coefficienti AL per le ferriti piu' diffuse. Il coefficiente AL racchiude in se tutte le parti scomode del calcolo dell'induttanza, come ad esempio la permeabilita' magnetica. Da ricordare, secondo gli insegnamenti dell'insigne ing. Riva: l'unita' di misura sp indica il numero di spire.

Consideriamo il caso in cui un condensatore venga caricato utilizzando la carica immagazzinata in un altro condensatore: un circuito di questo tipo.

Prima della chiusura di S1, il condensatore C1 e' carico ad una tensione V1 mentre il condensatore C2 e' completamente scarico. Dopo la chiusura di S1 si ha un versamento di carica dal condensatore C1 verso il condensatore C2, la tensione del secondo sale mentre la tensione del primo scende. Quale sara' la tensione finale all'equilibrio?

La tensione all'equilibrio vale:

ed e' tanto piu' piccola quanto piu' grande e' C2 rispetto a C1.

A cosa serve questa roba? Il condensatore C1 rappresenta un corpo elettrostaticamente carico, tipicamente il corpo umano.

Questo corpo umano se ne va in giro a passeggiare sulla moquette, poi attraversa 2 o 3 tappeti ed infine stende il suo ditino e tocca tocca un circuito elettronico da un milione di dollari. Il risultato e' una scarica elettrica dal dito del tapino verso il dispositivo che stiamo preparando da 9 mesi e di cui ne esiste un solo esemplare. Possiamo difenderci dalla scarica elettrostatica dell'amico che piu' tardi pesteremo per bene?

Una tecnica utilizzata in passato consisteva nell'appesantire gli ingressi con delle capacita' in modo tale che la tensione finale non fosse pericolosa. Di fatto il condensatore C1 vale circa 150pF, questo condensatore puo' essere caricato fino a 15kV; tentando di caricare con questo un condensatore C2 di 150nF si raggiunge la tensione di equilibrio di 15V, decisamente meno pericolosa.

La tavola riporta le curve delle maggiori capacita' di riferimento, queste sono le capacita' solitamente utilizzate nei body model. Sull'asse orizzontale si individua la capacita' C2, si scorre verticalmente fino ad incrociare la curva che ci interessa, scorrendo verso sinistra si individua sull'asse verticale il coefficiente k=C1/(C1+C2). Questo moltiplica la tensione iniziale del condensatore C1.

Una verifica della potenza dissipata dai resistori e' una buona pratica per garantire che non si verifichino indesiderati effetti pirotecnici. Questa tavola permette la verifica della dimensione (fisica) dei resistori abbastanza veloce: sull'asse orizzontale si individua la corrente che attraversa il resistore, sull'asse verticale si individua la caduta sul resistore stesso, se il punto individuato sulla carta sta al di sotto della curva del resistore montato allora siamo al sicuro.

La tavola contiene un numero ridotto di curve, e' possibile ricavare da queste tutte quelle mancanti moltiplicando per 10 o 100 una curva esistente. Ad esempio la curva dei resistori da 5W puo' essere ricavata dalla curva 1/2W moltiplicando per 10. Per far tornare i conti e' necessario moltiplicare per 10 l'asse orizzontale o quello verticale. Moltiplicando per 10 entrambi gli assi si ottiene di moltiplicare per 100 la potenza indicata sulle curve.

Per quanto io abbia sempre avuto una simpatia verso i filtri FIR, devo ammettere che l'uso strategico di filtri IIR puo' cambiare la giornata. Se non l'avete ancora visitata, posso consigliarvi la mia pagina sulla trasformata z e filtri digitali.

Questa non sara' una trattazione completa sul mondo dei filtri IIR, ma solo un breviario per uscire di impiccio con stile.

Una cosa che si incontra spesso scirvendo firmware, sopratutto in presenza di ingressi analogici, e' la necessita' di un piccolo filtro di smusso, non una cosa scentifica, un filtrino che faccia la media di un certo numero di campioni.

Nella mia vita, passando per aziende diverse, ho sempre sentito frasi del tipo: "La media e' un filtro", oppure "Mettici una media modbile". Sembra che fra tutti i filtri che l'uomo abbia mai inventato la media dei campioni in ingresso abbia sempre una posizione di rilievo. Quancuno riesce a spiegarmi perche'?

Facciamo finta, almeno inizialmente, di seguire questo dogma della fede, la domanda diventa: "Si puo' fare la media mobile con un filtro IIR?".
Si potrebbe tradurre in: "Si puo' fare la media senza fare la media?".

Secondo me si puo' fare di piu': si puo' avere un simulatore di RC, si comporta circa come un passa basso RC, e stabilire la lunghezza della risposta al gradino.

Consideriamo un'equazione di questo tipo:

Questo e' un filtro IIR con un solo polo reale, il guadagno e' stato corretto perche' sia sempre unitario per qualunque posizione del polo. Ovviamente il polo si trova in p. Questo e' il piu' semplice simulatore di passa basso RC che si possa desiderare.

La posizione del polo p definisce la frequenza di taglio del filtro: piu' il polo si avvicina a 1, piu' bassa sara' la frequenza di taglio. Essendo un RC passa basso, la risposta al gradino sara' esponenziale e sara' tanto piu' lunga quanto piu' bassa e' la freuqnza di taglio, ovvero tanto piu' il polo p si avvicina a 1.

Possiamo calcolare la lunghezza della risposta al gradino: assumiamo che inizialmente l'ingresso sia nullo, all'istante 1 l'ingresso diventa unitario e rimane costante nel tempo.
Quanto tempo impiega l'uscita del filtro a raggiungere il valore unitario?

Scriviamo le uscite del filtro nei vari istanti:

Generalizzando possiamo scrivere:

Essendo la risposta del filtro esponenziale, teoricamente non raggiungera' mai il valore dell'ingresso ma tendera' asintoticamente ad esso. Consideriamo un soglia di accettaziione epsilon e cerchiamo quando la nostra uscita supera 1-epsilon.

Usando la formula di cambio base dei logaritmi:

possiamo scrivere:

che calcola la lunghezza della risposta al gradino, ovvero quanti campioni vengono inseriti nella media, in funzione della soglia epsilon. Va da se che la scelta della soglia epsilon e' un parametro di progetto: definisce quando consideriamo esaurita l'esponenziale e questo parametro puo' essere scelto soo dal progettista. Solitamente superato il 95% del valore finale (dell'asintoto) si considera esaurito l'esponenziale.

La tavola riporta una tabellina con le lunghezze delle risposte dei filtri per epsilon uguale a 0.05 e 0.03.

La risposta in frequenza di questi filtri e' abbastanza povera, possiamo migliorare le cose aggiungendo uno zero al Nyquist, in questo modo:

Le caratteristiche in bassa frequenza e la lunghezza della risposta al gradino rimangono praticamente invariati.

Esiste un componente elettrico alquanto bizzarro chiamato trasformatore di modo comune o, secondo le scuole di pensiero, bobina di modo comune. Si tratta di un trasformatore con rapporto 1:1 montato in modo inusuale.

Viene montato ruotato di 90 gradi rispetto al modo classico e puo' essere utilizzato anche in corrente continua.
A che cosa serve un trasformatore collegato in questo modo?

La risposta non e' semplice e nella mia vita ho visto e sentito di tutto su questo componente. Cominciamo col chiarire che cosa non e': questo componente non e' l'equivalente di due induttori montati uno sul filo positivo e l'altro sul filo negativo.

Per quanto qualcuno possa sotenere il contrario, questi due circuiti non sono equivalenti: quello che manca e' l'accoppiamento magnetico tra i due avvolgimenti, sembra poco ma vedremo che e' in grado di cambiare radicalmente le cose. In questo secondo caso abbiamo inserito due induttanze in serie all'alimentatore, rispettivamente una sul polo positivo e l'altra sul polo negativo, niente di piu'; nel primo circuito invece no.

Per quanto il trasformatore di modo comune abbia un valore di induttanza nominale non e' possibile vedere l'induttanza quando e' collegato in questo modo.

Il filo e' avvolto in modo che la corrente I1 al polo positivo generi all'interno del nucleo magnetico il flusso Fi1; la corrente I2 di ritorno verso l'alimentatore generi il flusso Fi2. Le correnti I1 e I2 sono identiche in quanto rappresentano la corrente uscente ed entrante nell'alimentatore, di conseguenza anche i flussi Fi1 e Fi2 saranno identici in modulo, ma come si vede dal disegno, di segno opposto. Il flusso nel nucleo si annulla quando il circuito e' alimentato.

Non essendoci flusso magnetico non esiste nemmeno l'induttanza, ne serie ne parallelo.

Per una qualsiasi porzione di circuito, l'induttanza e' esprimibile come il rapporto tra il flusso di B e la corrente stessa che lo genera. Essendo nullo il flusso sara' nulla anche l'induttanza. La morale della favola e' che il trasformatore e' invisibile.

Ma allora a che cosa serve? Non l'abbiamo nemmeno pagato poco, che cosa lo abbiamo messo per fare?

Mica per niente si chiama bobina di modo comune: perche' arresta (o almeno ci prova) le correnti di modo comune. Fin'ora abbiamo alimentato il circuito in modo differenziale, se invece lo alimentassimo in questo modo, avremmo una corrente di modo comune.

In queste condizioni i flussiFi1 e Fi2 si sommano, il circuito equivalente del trasformatore diventa il seguente.

Percepisco dello scetticismo; ora qualcuno si chiedera': "Perche' dovrei alimentare il circuito in questo modo?"

In realta' non e' una scelta volontaria: il generatore vc rappresenta solitamente una sorgente a radio frequenza, il cavo di alimentazione fa da antenna ed il circuito si richiude atraverso delle capacita' parassite inevitabilmente presenti. In queste condizioni il trasformatore inserisce una forte induttanza serie al circuito di alimentazione; la reattanza induttiva cresce al crescere della frequenza, tendendo ad aprire il circuito ed ostacolando la stessa corrente di modo comune.

Calcolo della frequenza di taglio

Se questo e' un filtro, a meno che io non abbia frainteso qualcosa, allora come si calcola la frequenza di taglio?
Si puo' calcolare il comportamento in frequenza?

La questione e' di lana caprina. In sostanza abbiamo inserito in serie al generatore a radio frequenza un'impedenza visibile solo alle alte frequenze e ci siamo detti che questo ostacola le alte frequenze stesse. Secondo il mio modestissimo parere non e' semplice valutare quanto questa impedenza ostacoli le alte frequenze. Per tagliare la testa al toro e risolvere il problema e' utile introdurre nel circuito delle capacita' in posizione strategica.

Da notare che il collegamento verso terra della presa centrale tra i due condensatori non e' casuale: il collegamento verso terra serve per chiudere correttamente il circuito verso il generatore vc, essendo questo un generatore a radio frequenza e' sicuramente riferito a terra.

Ora il circuito equivalente e' costituito da due circuiti LC passa basso posti in parallelo; essendo filtri LC sara' abbsatanza semplice determinare la frequenza di taglio.